Les projections (tron)coniques

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Les projections tronconiques (souvent simplement appelées coniques) sont de la forme

$\gamma=n\phi\qquad\text{et}\qquad\rho=f(\theta)$

Du fait qu'on n'a pas forcément $f(\pi/2)=0$ et que n est paramétrable, on peut fixer deux conditions supplémentaires : généralement on impose à deux parallèles d'être automécoïques (déformation localement nulle). Cette classe de projections est très intéressante car elle permet d'obtenir les projections cylindriques et azimutales comme cas limites (un cône dont le sommet est à l'infini ou au contraire sur la sphère), et offre donc une plus grande variété, qui permet de mieux choisir la position d'erreur minimale sur la carte. Cependant, ceci est rarement reconnu car on n'utilise, à tort, que l'aspect direct des projections coniques (c'est-à-dire que l'on prend toujours des cônes dont l'axe passe par les pôles). Voici un exemple où on a essayé de minimiser l'erreur sur les deux Amériques.

Projection conique en aspect oblique

La condition de rendre un parallèle $\theta_0$ automécoïque s'écrit, (d'après 2 et 3)

$n\,\rho(\theta_0)=\cos \theta_0 \qquad\text{et}\qquad\rho'(\theta_0)=-1$

n partant de deux parallèles automécoïques (que nous noterons $\theta_1$ et $\theta_2$ ), et en raisonnant comme précédemment, on trouve facilement n et $\rho$ . Les calculs sont parfois longs mais restent simples, et on peut donc se contenter d'énoncer les résultats (sauf pour la projection conique perspective, qui n'est jamais utilisée car les déformations sont très grandes, et qui donne lieu à de très longs calculs sans intérêt). On peut aussi imposer qu'autour d'un parallèle, l'erreur soit seulement du second ordre, ce qui revient à faire tendre $\theta_1$ vers $\theta_2$ dans les expressions pour 2 parallèles distincts. Une façon équivalente d'obtenir ce cas particulier consiste à poser $n\rho'(\theta_0)=-\sin \theta_0$ ce qui avec $\rho'(\theta_0)=-1$ aboutit à

$n=\sin\theta_0$

Dans les paragraphes qui suivent nous donnons entre crochets le cas particulier d'un parallèle du second ordre.

Pour les figures, on a pris des parallèles automécoïques à 30 et 60 degrés de latitude nord, ce qui représente correctement les zones de latitude européenne.

Pour la projection conique équidistante ou projection de Delisle (à l'origine : de de l'Isle), on trouve
$n=\frac{\cos \theta_1-\cos \theta_2}{\theta_2-\theta_1} \qquad \rho=\frac{\theta_2\cos\theta_1-\theta_1\cos\theta_2}{\cos\theta_1-\cos\theta_2}-\theta$

$\left[ n\to\sin \theta_0\qquad \rho\to\cos \theta_0/\sin\theta_0+\theta_0-\theta \right]$

Projection conique équidistante
Pour la projection conique équivalente (projection d'Albers), on trouve
$n=\frac{\sin \theta_1+\sin\theta_2}{2} \qquad \rho=\sqrt{C-\frac2n \sin\theta}$
avec
$C=\frac{1+\sin\theta_1\sin\theta_2}{n^2}$

$\left[ n\to\sin \theta_0\qquad C\to\frac{1+\sin^2\theta_0}{\sin^2\theta_0} \right]$

(Comparer avec la projection azimutale équivalente de Lambert quand $\theta_1=\theta_2=\pi/2$ .)

Projection conique équivalente
Enfin, pour la projection conique conforme ou projection conique de Lambert on a
$n=\frac{\log \cos \theta_1-\log\cos\theta_2}{ \log\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta_1}{2}\right) -\log\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta_2}{2}\right) } =\frac{\log \cos \theta_1-\log\cos\theta_2}{ \pounds_2-\pounds_1}$

$\rho=k\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\right)^n =ke^{-n\pounds}$

$k=\frac{\cos \theta_1}{n}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta_1}{2}\right)\right)^n =\frac{\cos \theta_1}{n}\,e^{n\pounds_1}$

$\left[ n\to\sin\theta_0 \qquad k\to \cos\theta_0\,e^{\sin \theta_0\,\pounds_0} \right]$

Projection conique conforme

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