Les projections azimutales

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En coordonnées polaires, les projections azimutales sont de la forme $\gamma=\phi$ , $\rho=g(\theta)$ avec $g(\pi/2)=0$ , ou plus simplement, en posant $z=\pi/2-\theta$ (z est la colatitude de M et simplifie les calculs), $\gamma=\phi$ , $\rho=f(z)$ avec $f(0)=0$ .

Il existe une infinité de projections azimutales perspectives (comme de projections cylindriques perspectives). On n'étudiera donc que deux cas : le point de vue est soit au centre de la sphère, soit à l'infini. Pour les mêmes raisons que pour les projections cylindriques on considérera uniquement des projections sur un plan tangent, de manière à ne pas avoir de déformation au voisinage du point central (donc $f'(0)=1$ ).

Voici une figure pour le premier cas,

Projection gnomonique

où $\rho=\tan z$ . Ceci est la projection gnomonique (ou centrale). Elle ne peut représenter qu'un hémisphère et déforme beaucoup, mais elle est orthodromique : en effet le plan de tout grand cercle de la sphère passe par le centre de projection, et donc tout grand cercle sera représenté par une droite, et réciproquement.
Dans le second cas, on obtient une projection orthogonale, appelée projection orthographique, où $\rho=\sin z$ . Cette projection ne peut représenter qu'un hémisphère et aplatit considérablement les zones proches de l'équateur, mais les parallèles ont leur vraie grandeur, et surtout elle correspond à la vision de la Terre pour un observateur placé dans l'espace, et est donc visuellement satisfaisante.

Projection orthographique
Pour la projection azimutale équidistante, dite de Guillaume Postel, on trouve simplement (au signe près, qui n'est qu'une rotation).

Projection azimutale équidistante
Pour la projection azimutale équivalente, dire azimutale de Lambert, la condition 1 s'écrit
$-f(z)f'(z)=\sin z$
d'où $f(z)=\sqrt{2-2\cos z}$ (au signe près) : le rayon est égal à la longueur de la corde joignant A, point de tangence, à M.

Projection azimutale équivalente
Pour la projection azimutale conforme, la première équation de la condition 2 est vérifiée par toutes les projections azimutales (et même coniques). La deuxième s'écrit
$f(z)^2=\sin^2z\,f'(z)^2$
d'où on tire
$f(z)=2\tan z/2$

Ceci est la projection stéréographique et elle correspond en fait à une projection perspective dont le point de vue serait diamétralement opposé au point de tangence.

Projection stéréographique

On peut trouver une relation dans le plan complexe entre la projection stéréographique et la projection de Mercator :
$\text{stéréographique}=e^{i\text{Mercator}}=e^{i\phi-\pounds}$

Signalons une transformation couramment utilisée pour les projections azimutales. La transformation d'Aïtoff-Hammer (Aïtoff l'a inventée pour la projection de G. Postel et Hammer n'a fait que l'appliquer telle quelle à d'autres projections). Elle se base sur l'aspect transverse de ces dernières (ce qui change totalement les aspects des parallèles et méridiens) et consiste à diviser les longitudes par un nombre supérieur à 1 (2 en général), à appliquer la projection transverse à la surface partielle de sphère ainsi obtenue, et à remultiplier les abscisses par ce nombre. De manière intéressante, cette transformation conserve la propriété d'équivalence.

Transformation d'Aïtoff appliquée à la projection azimutale équivalente, en aspect oblique

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