Propriétés de conservation

Mais les projections sont surtout classées selon les propriétés qu'elles conservent (pour les optimistes) ou le type de déformations qu'elles induisent (pour les pessimistes) :

Hors de cette classification, une projection azimutale conserve les angles dont le sommet est le centre de la projection (les azimuts) et les projections orthodromiques conservent les géodésiques (voir la conclusion de cet article).

Il existe des conditions simples pour juger de l'équivalence ou de la conformité d'une projection. On notera M le point de la sphère (de rayon pris égal à $1$

) de longitude $\phi$ et de latitude $\theta$ , N son projeté de coordonnées x et y dans un repère orthonormé, avec en coordonnées polaires $x=\rho \cos \gamma$ et $y=\rho \sin \gamma$ .

L'aire d'un petit élément de surface de la sphère, d'étendue $d\phi$ en longitude et $d\theta$ en latitude, est

$\begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \,\,d\phi \,d\theta=\left( \frac{\partial x}{\partial \phi} \frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial \phi} \right)\,d\phi \,d\theta$

Si cette quantité est positive, on obtient une image directe de la région considérée, sinon on obtient une image retournée. L'échelle locale, pour les aires, d'une projection est donc définie comme

$\frac{1}{\cos \theta}\left( \frac{\partial x}{\partial \phi} \frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial \phi} \right)$

Condition 1

Une projection est équivalente si et seulement si en tout point

$\frac{\partial x}{\partial \phi} \frac{\partial y}{\partial \theta} -\frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial \phi} =\cos \theta$

soit

$\rho\left( \frac{\partial \rho}{\partial \phi} \frac{\partial \gamma}{\partial \theta} -\frac{\partial \rho}{\partial \theta} \frac{\partial \gamma}{\partial \phi} \right)=\cos \theta$

$\sqrt{ \left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2 } =\sqrt{ \left(\frac{\partial \rho}{\partial \theta}\right)^2 +\rho^2\left(\frac{\partial \gamma}{\partial \theta}\right)^2 }$

$\frac{1}{\cos \theta} \sqrt{ \left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2 } =\frac{1}{\cos \theta} \sqrt{ \left(\frac{\partial \rho}{\partial \phi}\right)^2 +\rho^2\left(\frac{\partial \gamma}{\partial \phi}\right)^2 }$

Cette fois-ci on ne peut distinguer une image retournée : à laquelle des deux échelles attribuer un signe négatif ?

Une projection sera conforme si et seulement si elle est localement assimilable à une similitude, autrement dit si le quadrilatère représentant un petit rectangle $d\phi d\theta$ de la sphère est lui-même un rectangle et que les échelles des méridiens et des parallèles sont localement égales. On en déduit :

Condition 2

Une projection est conforme si et seulement si en tout point

$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi}\frac{\partial x}{\partial \theta}+ \frac{\partial y}{\partial \phi}\frac{\partial y}{\partial \theta}=0 \\ \null \\ \displaystyle \left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2 =\cos^2 \theta\left( \left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2 \right) \end{array} \right.$

Pour avoir ceci en coordonnées polaires, il suffit de remplacer les termes en $\partial x$ par $\partial \rho$ et ceux en $\partial y$ par $\rho \,\partial \gamma$ .

Si on note $z=x+i y$

, et si f est une application holomorphe et g une projection conforme telle que $z=g(M)$

, la projection $f\circ g$ est elle aussi conforme puisque f est assimilable localement à une similitude. Réciproquement, si deux projections injectives sont conformes, il existe nécessairement (si on tient aussi compte des points à l'infini) une application holomorphe transformant l'une en l'autre, car la fonction transformant l'une en l'autre doit elle aussi être assimilable localement à une similitude. Ainsi on peut obtenir toutes les projections injectives conformes à partir d'une seule par composition par des fonctions holomorphes.

Enfin, pour les projections équidistantes, l'échelle sur les méridiens vaut 1, ce qui donne :

Condition 3

Une projection est équidistante si et seulement si en tout point

$\left( \frac{\partial x}{\partial \theta} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \theta} \right)^2 =1$

On peut appliquer ces résultats pour retrouver les projections couramment utilisées. On étudiera dans chaque catégorie principale (cylindrique, azimutale, tronconique) les projections perspectives, équidistantes, équivalentes, conformes.