Séminaire des élèves du département de mathématiques de l'ENS, année 2001

Le séminaire des élèves est généraliste et s'adresse essentiellement aux élèves de seconde, troisième et quatrième années.
Seuls des élèves en cours de scolarité ou récemment sortis sont autorisés à y assister...
Participation, renseignements : écrire à yann.ollivier (domain:) normalesup.org

Les exposés ont lieu le mercredi à 16h30 en salle Cartan.

24 octobre 2001, Julien Marché, L'intégrale de Kontsevich et ses applications aux algèbres de Lie

Texte (incomplet) : format ps gzippé

Résumé : On présentera schématiquement l'intégrale construite dans les années 90 par Kontsevich pour décrire de façon combinatoire les invariants de Vassiliev des noeuds. Cette intégrale est à valeur dans une algèbre de diagrammes: sa composition avec une forme linéaire fournit un invariant de type fini. Il se trouve que chaque algèbre de Lie munie d'une forme bilinéaire donne lieu à une telle forme linéaire. On retrouve de cette manière tous les invariants de noeuds (polynôme de Jones, Conway, Kauffman, HOMFLY...).

L'analogie de l'ensemble des diagrammes avec les algèbres de Lie peut être poussée un peu plus loin: on construira les analogues des isomorphismes de Poincaré-Birkhoff-Witt et Duflo pour les algèbres de diagrammes. Les propriétés de ces isomorphismes sont liées de façon cruciale à la théorie des noeuds par l'intermédiaire de l'intégrale de Kontsevich.

6 juin : Emmanuel Breuillard, Le paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski, le problème de Ruziewicz, et l'équidistribution sur la sphère

Résumé : Peut-on decouper la sphère en un nombre fini de parties, puis réassembler ces parties pour former deux copies de la meme sphère ? Paradoxalement oui, c'est en substance le paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski. Par conséquent, il n'existe pas de mesure finiment additive et invariante par rotation définie sur tous les sous-ensembles de la sphère. Qu'en est-il s'il on se restreint aux sous-ensembles mesurables au sens de Lebesgue ? La mesure de Lebesgue convient bien sûr, mais est-ce la seule ? C'est le problème de Ruziewicz.

Une solution définitive à ce problème a été apportée dans les années 80, tout d'abord, pour le cas des dimensions par Margulis et Sullivan, en construisant un sous-groupe dense dans ayant la propriété (T) de Kazhdan, puis pour et , par Drinfeld, en construisant deux rotations de la sphère qui engendrent un groupe dense et très bien équidistribué. Cette dernière construction repose sur la théorie de Jacquet-Langlands et la conjecture de Ramanujan de la théorie des nombres. Récemment cependant, Sarnak en a trouvé une preuve plus élémentaire qui repose sur l'étude d'un certain opérateur de Markov lié à une marche aléatoire sur la sphère, opérateur qui peut aussi être interprété comme un opérateur de Hecke pour une classe de formes modulaires. Le spectre de cet opérateur s'avère avoir des propriétés statistiques semblables à celui des grandes matrices aléatoires.

16 mai : Gilles Radenne, Pavages, surfaces dans un graphe de Cayley et coloriages

Texte : format ps gzippé

Résumé : On s'intéresse au problème de la pavabilité d'un figure par un ensemble de tuiles donné. On va présenter les groupes de pavages introduits par Conway, et leur utilisation dans la méthode dite des hauteurs, et enfin on verra comment cette méthode peut se voir sous une approche de coloriage, ce qui permettra de l'étendre.

On commencera par présenter les groupes de pavages, et quelques une de leur propriétés élémentaires, puis on va se restreindre à quelques cas particuliers, dans lesquels on peut donner au graphe de Cayley du groupe de pavage une conformation dans l'espace qui permettra de définir un revêtement naturel du 2-simplexe vers le plan de la figure à paver, ce qui donnera une correspondance entre les pavages signés et des surface dans le 2-simplexe. On en tirera un algorithme de pavage extrêmement efficace.

On verra enfin comment cette approche et l'agorithme associé peuvent être considérés comme un coloriage de la figure à paver, et comment à l'aide d'un coloriage similaire on peut essayer d'appliquer cette méthode dans des cas ou le graphe de Cayley n'admet pas de configuration spatiale utilisable.

9 mai : Grégory Miermont, Introduction à la coalescence stochastique additive

Texte : dvi ou ps gzippé.

Résumé : On s'intéresse à des processus aléatoires faisant intervenir des masses susceptibles de fusionner à des instants aléatoires dépendant additivement des valeurs des masses. La formation de gouttes d'eau dans les nuages, ou de galaxies à partir de "proto-galaxies" plus petites, constituent des exemples naturels de ce type de processus. On étudiera des méthodes de codage de ces processus à l'aide d'arbres aléatoires et de ponts à accroissements échangeables, permettant de construire les « coalescences éternelles » issues du temps avec des masses « infinitésimales » (microgouttes d'eau dans les nuages, poussière cosmique dans les galaxies...).

25 avril : Yann Ollivier, Géométrie des groupes discrets

Texte : html ou pdf ou ps gzippé.

Résumé : On donnera une introduction à différents thèmes liés à la géométrie des groupes discrets (un groupe discret est à peu près n'importe quel groupe sur lequel on met la topologie triviale).

On commencera par donner un aperçu des propriétés usuellement étudiées (par exemple la propriété de Kazhdan, l'hyperbolicité, la moyennabilité), avec des exemples, et l'on énoncera quelques-uns des théorèmes-phares de ce domaine, sans démonstration.

Puis on montrera comment cette approche permet de résoudre partiellement un problème classique de théorie algorithmique des groupes, à savoir : trouver un algorithme qui, dans un groupe fini défini par une boîte noire effectuant la multiplication, renvoie un élément aléatoire uniformément réparti dans le groupe. La démonstration fait intervenir des propriétés des groupes discrets infinis, en particulier, de manière cruciale, la propriété de Kazhdan dont nous aurons préalablement parlé, liée à la théorie des représentations.

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