[reprendre cet article en distinguant "dans tout modèle de cette théorie, il existe un x tel que..." (=existence classique), "il existe un modèle où il existe un tel x"," il n'existe aucun modèle où il existe un tel x", " (aucun axiome sur x) " ; dans le deuxième cas, la propriété est souvent indécidable, et si elle est décidable (ce qui arrive souvent aussi) cela justifie que cette affirmation ne soit pas un axiome mais bien une définition (ex : en théorie classique des ensembles, il existe un groupe), mais si on prend la théorie des ensembles sans la construction de N avec les axiomes de groupe, l'existence d'un groupe commutatif infini est indécidable.]
Les mathématiques s'appliquent au monde car elles sont faites par l'homme qui appartient au monde. Les mathématiques ne sont pas absolues mais cependant universelles car=directe conséquence des lois physiques de l'univers, seule manière de le comprendre. Matérialisme : seul le monde physique existe ontologiquement et donc les lois physiques plaquées par l'homme ne peuvent le décrire. Mais pensée de l'homme appartient à l'univers et donc 'sélection naturelle ? ) son mode de pensée tend à pouvoir refléter de mieux en mieux la réalité ; mais ne décrivent cependant que ce que l'homme observe (mais pour la même raison, ce champ d'observation tend aussi à s'accroître).
La mathématique, et de manière générale les objets de la pensée, existent exactement au même titre que le monde extérieur : le monde extérieur n'est perçu que par les sens qui sont des pensées. Différence : la pensée des objets mathématiques semble contrôlable/monde extérieur (les informations sensibles peuvent être partiellement contrôlable : imagination, mais pas considérée comme réelle). Mais la pensée des objets mathématiques n'est pas contrôlable quand les axiomes sont posés (=invention ) ensuite aucun choix possible (sauf si acceptation de la contradiction) [sauf pour les indécidables=objets ou propriétés sur lesquels les axiomes ne précisent rien, mais existence de décidables suffit à enlever la contrôlabilité). Alors développement des mathématique =découverte, car de même que pour le monde extérieur dans ma métaphysique) le sujet ne contrôle pas l'objet et est donc amené à supposer (recherche d'une théorie décrivant ces observations) que ces objets existent auparavant (évidemment cette supposition n'est faite qu'après la découverte, et avant la découverte le sujet ne connaissait pas l'existence -> existence réelle ? mais ceci=définition de la découverte et le même argument s'applique au monde extérieur (découvertes sensibles) qui n'est pourtant pas contesté). Mais existence différente de celle du monde extérieur car pas information transmise par les sens (=existence physique) [autre différence : le monde extérieur contrôle notre bonheur et peut nous tuer, pas nos idées [mais mort=invention humaine car personne n'a connu la mort ; mort inexistante ? ]). Avant la découverte, une propriété peut exister par ses manifestations sur l'expérience [expérience mentale, mais au travers d'une représentation d'un concept cette expérience -> sensible -> existence physique ? ] mais si * toutes les manifestations possibles sont expérimentées (possible uniquement si théorie finie ou nombre fini de démonstrations de cas particuliers infinis) =démonstration * si seulement manifestations partiellement : pas preuve de la propriété -> pas vraiment existence (mais recherche de la plus grande simplicité [ou beauté ? ] dans les lois de la nature -> conjecture forte=presque existence =supposition d'existence [pensée de l'existence =existence ? ]).
Différence découverte/invention =contrôlabilité ? En effet, ce qui est classiquement répertorié comme invention serait selon la doctrine philosophique des mathématiques platonicienne de la découverte : l'organisation de l'invention, sonfonctionnement (comportement, propriétés) étaient nécessaires et préexistants car décidés à l'avance par sa structure. Invention =donner existence physique à un objet de pensée ( -> toute pensée n'est ni découverte ni inventée) ? Découverte=au contraire, porter un objet ayant une existence physique dans sa pensée ? Définition pas satisfaisante car alors l'invention serait la réalisation physique de l'idée, et aucune invention lors de l'apparition de l'idée elle-même. Dans l'invention, le but de l'invention est souvent connu à l'avance, (dans la découverte=mise en évidence d'une chose attendue aussi, mais pas dans la découverte fortuite) [ -> démonstration =découverte ? ]. La contrôlabilité semble être un critère satisfaisant : classiquement une invention peut être modifiée, pas une découverte ; alors choix des axiomes=invention d'une théorie, et ensuite découverte des propriétés décidables et invention des indécidables (car en fixant chaque indécidable, le mathématicien rend vraies beaucoup de nouvelles propriétés auparavant possiblement vraies ou fausses [voire inexistantes] =invention [ici la création est manifeste, non pas par rapport à l'ensemble des Idées préexistantes mais par rapport à ce qui était vrai (=existant) auparavant dans la théorie, ce qui donne un sens à la notion d'entité existante (=découverte) ou n'exsitant pas (=invention) auparavant]). On doit considérer que ce qui est indécidable est toujours possible (comme une invention) dans l'un ou l'autre des modèles de la théorie et que, par exemple, dans un cas il est appelé "ensemble" et pris en compte, et pas dans l'autre (ceci=pas restriction car interdiction de certains objets -> plus de propriétés, théorie plus précise donc aussi plus riche). Poser un axiome sur l'indécidable=invention. Parallèle total entre possibilité /invention et démonstration /découverte ? Ce qui est démontré= (classiquement) perçu par les sens, ce qui est possible et déterminé par le sujet= (classiquement) pensé et inventé. Donc l'existence des objets mathématiques découverts/inventés est la même que / découvertes et inventions classiques.
Problème : tel système d'axiomes (inventé) -> tel résultat (alors découvert) =même type d'implication que par ex telle propriété d'un nombre (non inventée) -> autre propriété (ex : a<0 -> x^a -> 0 en l'infini). La décision de prendre un nombre <0 est en fait la même que de choisir un systèmùe d'axiomes, alors que le premier est une découverte et l'autre une invention [mais lors de l'application du théorème, le fait que a<0 est imposé et pas contrôlable, de même le système axiomatique doit être un modèle d'une théorie physique =découverte (sinon : invention ? ) ] [position d'un théorème avec ses hypothèses=invention, comme position d'un nouveau système (invention car le mathématicien reconnaît que telle configuration est intéressante et donne lieu à une propriété nouvelle auparavant indécidable) ; si les hypothèses d'un théorème sont données, le fait de trouver le résultat est alors une découverte (idem axiomes) ; le fait d'appliquer un théorème (ou un système d'axiomes) à une situation physique imposée ne relève ni de la découverte (la découvetre a lieu quand on s'aperçoit que le système d'axiomes est un modèle du système physique ou que les hypothèses s'appliquent) ni de l'invention, mais de la technique].
Développement de la logique (de la théorie des théories axiomatiques) -> que le choix des axiomes est le même que celui de ce nombre a < ou >0 -> pas invention mais découverte quand nouveau système d'axiomes posé, et invention uniquement quand création d'un nouveau système logique contrôlant non pas les axiomes mais la manière dont les axiomes impliquent les propriétés ; ceci fait dépendre l'invention et la découverte de l'avancement de la logique de la civilisation considérée (stade non axiomatique, axiomes, théories de la logique [axiomatisation de l'axiomatisation], stade suivant = ? ) -> plutôt le fait de prendre a<0 est une invention quand élaboration de la théorie des x^a où a<0, mais découverte quand nombre a<0 est imposé par une expérience (ou plutôt technique =application d'un savoir ? ) [expérience physique, ou résultat précédant -> ant a<0] car alors la propriété x^a -> 0était vraie auparavant mais inconnue (ou observée mais non démontrée). Ici encore découverte/invention selon la contrôlabilité.
Désir de maximalité d'existence : =désir d'invention maximale (nécessité de définir invention positive qui affirme "Il existe x / P (x) et y / non P (y) " devant un indécidable P, et invention négative qui affirme "Quel que soit x, P (x) " ou "Quel que soit x, non P (x) " ; au premier abord, la première semble négative (négation de l'absolu, existence pour toute propriété d'un contre-exemple=scepticisme radical] et la deuxième positive ; mais en fait pas scepticisme radical, car P doit être indécidable dans le reste de la théorie -> comme le décidable existe, une connaissance absolue est possible, + affirmation absolue d'une existence (de x ou de y) ; de plus, tout théorème Q vrai dans la 2e est exprimable (avec restriction d'utilisation - position des axiomes=position des hypothèses d'un théorème, comme ci-dessus le a<0) dans la 1e : "Pour tout x, P (x) -> Q (x) " ; cette restriction des conditions d'utilisation de Q n'est pas restrictive en pratique, car comme P est indécidable, quand on considère un objet donné, si P est non spécifié et non pertinent, la propriété Q dépendant de P est elle aussi non pertinente (Q n'est généralement intéressant que quand la question de P s'est posée d'abord), et sinon P ou non P fait généralement alors explicitement partie de la définition (expérimentale ou théorique) qu'on s'est donnée de l'objet auquel on veut appliquer Q.
Si découverte/invention selon contrôlabilité : quand on pose axiomes, invention d'objets nouveaux (=création contrôlable) mais pas invention de leurs propriétés (de la théorie de ces objets).au sens où un théorème est de la forme "axiomes ou hypothèses -> propriété" et non pas de la forme "propriété" et cette implication est valable indépendamment des axiomes [qui sont indécidables par définition d'un système minimal d'axiomes] [l'implication des hypothèses à la propriété étant valable dans une logique donnée, on doit mettre la logique dans les hypothèses].
Constructivisme : =en fait, s'imposer que tous les objets dont on parle proviennent directement de l'expérience et s'interdire de se donner des objets a priori. Constructivisme est existence négative et donc inclus dans théories classiques plus vastes. Origine des objets= constructibilité =provenance de l'expérience -> négation totale de l'invention en mathématiques, tout est découverte. Mais si objets non constructibles, impossible de les appliquer ? (cf. nombres aléatoires : presque tous les réels sont aléatoires mais on n'en connaît aucun car si exhibition, alors procédé d'exhibition -> pas aléatoire) ; mais le continu physique peut très bien produire un nombre totalement aléatoire (c'est même le cas avec une probabilité 1) qui n'est jamais reconnu comme tel (troncature due à la mesure). Cependant si on considérait qu'aucun nombre physique n'est aléatoire, analyse différente -> résultats physiques faussés.
Problème de la signification exacte de l'indécidabilité : indécidable car existence de deux modèles où vrai ou faux, ou bien indécidables car les moyens de démonstration que l'on se donne ne sont pas assez puissants ( -> existence de "contradictions invisibles" ? ). Nécessité de s'octroyer les moyens de démonstration les plus puissants (démontrsations infinies etc ? ; ) ou bien, "contradiction invisible"=pas notion pertinente ? Les moyens pllus puissants de démonstration =invention de nouveaux objets (puis découverte de leurs propriétés) ; contradiction invisible ne remet pas en cause la cohérence -> existence (comme une apparence peut exister et cacher quelque chose d'invisible et d'incohérent).
Découverte : représentation consciente précède la conception / invention : le contraire ? (mais problème d'identité). Invention = création de vérité / réalité ?