Argument de Hilbert : les processus de pensée sont finis -> tout résultat mathématique acceptable doit être fini. Mais un processus fini partant de données infinies peut aboutir à un résultat infini. Or la pensée peut envisager des données infinies (même s'il semble qu'elle ne peut pas réfléchir infiniment). Par exemple, le processus d'abstraction produit une classe infinie à partir d'un nombre fini d'objets. Ceci n'est pas paradoxal car cette classe, même infinie, est représentée par un seul objet (l'idée de cette classe), qui est simple (indivisible, un) et manipulable. Possibilité de manipuler un concept sans savoir ce qu'il représente, mais simplement quelles en sont les propriétés essentielles (quasi axiomatiques, ou plutôt définissantes). L'argument de Hilbert signifie que si une infinité d'objets présentent une propriété, cette propriété n'est pas manipulable, ce qui est absurde. De plus, cette propriété n'est pas infinie, mais correspond à l'ensembledes objets la présentant, qui lui est infini. L'intérêt de l'ensemble est justement de réunir en un des objets divers pour les manipuler globalement et sans distinction. Le schéma de compréhension permet la manipulation de données infinies (ou d'une infinité d'instances de la même idée) repérées par une propriété commune ; par contre il ne permet pas de manipuler une instance infinie arbitraire (comme par exemple un nombre aléatoire) [mais pourrait éventuellement servir à manipuler l'ensemble des ensembles infinis arbitraires]. L'acte d'abstraction permet justement d'envisager l'infini (l'indéfini) à travers un processus et une représentation finis.
Possibilité (légitimité) de définir les ensembles en extension ? L'intuitionisme prétend qu'une fonction n'est pas définissable arbitrairement mais qu'elle se réduit à une correspondance plus ou moins alforithmique. Si on applique le même raisonement aux ensembles, on obtient qu'un ensemble n'est pas définissable arbitrairement mais uniquement par les propriétés ("en compréhension"), ce qui est contraire à l'esprit constructiviste.
Se réduire au fini semble contradictiore, car il existe une infinité d'objets finis et donc démontrer toutes les propriétés finies des objets finis nécessite des moyens (en longueur de démonstration mais aussi en quantité de données, ce qui est plus grave car cela ne peut pas être temporisé) infinis.