Axiome du choix=introduction de critères physiques en mathématiques. En effet tous les objets d'une collection sont équivalents du point de vue de la propriété considérée, et il est impossible d'en choisir un selon des critères objectifs. L'opération qui consiste, étant donné un ensemble non vide à en extraire un élément n'est pas fondée mathématiquement et fait donc intervenir des critères contigents humains simplicité, proximité, première idée...). En fait ce n'est pas l'axiome du choix (existence d'une fonction de choix, ou le fait que l'ensemble des fonctions de choix est non vide, ce qui est évident) qui est en cause, mais plutôt son utilisation : l'extraction, parmi cet ensemble, d'une fonction de choix particulière. Le problème réside plutôt dans la rédaction usuelle de ce raisonnement ("il en existe -> j'en prends un") que dans le raisonnement lui-même, puisqu'un raisonnement formel écrit d'un bout à l'autre "l'ensemble des ... est non vide" et non "j'ai pris un ...".
Cependant dans le cas fini, cela ne pose pas de prolème car un ensemble fini est en bijection avec une partie de N dont on peut choisir le plus petit élément (encore faut-il que la bijection soit donnée, ce qui est le cas pour les ensembles donnés in extenso [on pourrait dire que la bijection résulte de l'arbitraire de l'énumération, masi alors l'introduction des critères humains se fait par la donnée explicite de l'objet étudié (forcément arbitraire) et pas par la donnée d'une structure illusoire sur cet objet (à noter que cette introduction d'arbitraire-là est acceptable car elle est conservée [ou préexistante pour un platonicien]par les objets mathématiques : on peut supposer que l'ensemble en question existe indépendamment du sujet ; mais la structure particulière que lui donne le sujet en conférant une propriété particulière à un élément, n'a aucun pendant mathématique ) ]).
Il n'est d'ailleurs même pas sûr que la donnée explicite d'un objet prouve son existence. En effet l'exhibition ne se fait selon aucun critère objectif, et est donc irrecevable mathématiquement : aucune preuve formelle n'existe, la démonstration fait intervenir des moyens + que démonstratifs : des moyens humains (analogue à l'usage des démonstrations infinies etc.). Si possibilité d'exhibition arbitraire =affirmation que la pensée peut se fixer sur un objet quelconque (celui qui est choisi, selon les critères [humains] du plus simple, plus proche, premier en mémoire etc.) =affirmation du libre-arbitre. En effet, si pensée conditionnée par la pensée à l'instant d'avant (=déterminisme), On a bien la nécessité de critères, et donc en mathjématiques, on devra bien faire appel à un procédé d'extraction (procédé=pas forcément constructif) : l'exigence d'un critère (quelconque) de sélection de l'objet exhibé est donc compatible avec la structure de l'esprit humain (à moins que les mathématiciens cherchent àexercer leur libre-arbitre dans les maths : les critères déterminants de la physique [mémoire etc.] deviennent arbitraires en mathématiques : transformation du déterminé en libre-arbitre ? ).
Objection : dans ce cas la démonstration est impossible car toute démonstration est exhibée. Mais ceci=considérer les démonstrations comme des objets mathématiques (car on opère sur elles dans ce cas avec les mêmes restrictions que sur les objets mathématiques) ce qui est contestable : on peut considérer les objets comme existants (platoniciennement) et les démonstrations comme métamathématiques et inexistantes (les démonstrations peuvent devenir des objets en théorie de la démonstrations mais alors d'autres "métadémonstrations " prennent leur rôle et donc ce qui tient lieu de démonstration est bien considéré comme inexistant ; c'est d'ailleurs ce que l'on fait quand on pense à une démonstration comme objet d'étude : on cherche d'où elle vient etc, et donc on fait bien des métadémonstrations) [d'autre part l'argument qui dit que la démonstration est impossible car exhibée repose sur le résultat affirmant qu'il n'existe pas de procédure systématique (et donc acceptable mathématiquement dans ce contexte) de démonstration, résultat qui a lui-même été démontré arbitrairement ( -> autoréférence de cette position) ; mais cet exposé est lui-même une démonstration arbitraire etc.].